Его родители были инженерами родом из Чеховского района Московской области. Супруга Юрия Дмитриевича - Елена - также артистка, работает в Театре Кошек. Там же работает их старший сын - Дмитрий. Младшие дети - Екатерина и Владимир - школьники.
Первое выступление Юрия Куклачева состоялось в рамках Всесоюзного смотра художественной самодеятельности, где он был удостоен звания лауреата. На заключительном концерте, который проходил в Цирке на Цветном бульваре, впервые вышел на манеж. На юношу обратили внимание специалисты, пригласив в цирковое училище. Так началась цирковая карьера без преувеличения уникального, самого любимого и яркого клоуна и дрессировщика - Юрий Куклачева.
В 1971 г. Юрий Куклачев окончил Московское государственное училище циркового и эстрадного искусства. Его педагогом был Н.А.Кисс. Здесь начинающий артист цирка тренировался, осваивал эквилибр, акробатику, жонглирование. Позднее Юрий Куклачев окончил Государственный институт театрального искусства по специальности "театральный критик".
С 1971 по 1990 г. - артист "Союзгосцирка". В феврале 1976 г. Юрий Куклачев впервые появился на арене цирка с номером, в котором выступала домашняя кошка. Слух об этом событии мгновенно распространился по Москве, ведь кошка считалась животным, неподдающимся дрессировке, и ее появление на арене цирка было сенсацией. На арену вышел клоун в синем костюме, обшитом белым горохом. У него на плече сидела кошка Стрелка, а следом бежал пес Паштет. Уже первое появление этой компании вызвало громкий смех зрителей, а самое невероятное было то, что кошка с арены убегать никуда не собиралась, она выступала с артистом, как будто была самая главная.
Созданные артистом программы "Кошки и клоуны" и "Город и мир" покорили зрителей и у нас в стране и за рубежом. Он побывал с гастролями в Румынии (1973 г.), на Кубе (1974 г.), в Канаде (1976 г.), США (1977 г.), Пуэрто-Рико (1978 г.), Германии (1980, 1990 гг.), Японии (1981, 1985 гг.), Аргентине (1982 г.), Уругвае, Перу, Венесуэле (1983 г.), Франции (1984, 1994 г.), Израиле (1990, 1992 г.), Нидерландах (1990 г.), Бельгии (1990, 1993 гг.), Великобритании (1991 г.), Италии (1992 г.) и многих других странах. Во время гастролей в Канаде Ю.Куклачев был удостоен чести отобедать с премьер-министром страны Трюдо. В Англии, куда из-за пограничного карантина артисту не удалось привезти всех своих питомцев, он всего за три месяца создал уникальный цирковой номер, главными действующими лицами в котором стали отловленные им на улицах или подаренные англичанами кошки. Этот номер был признан лучшим комедийным номером года, и артист был удостоен почетного диплома.
Ю.Д.Куклачев - артист многожанровый. Он и жонглер, и эквилибрист, и каскадер, и фокусник, и дрессировщик. По убеждению самого артиста: "Клоун не тот, кто умеет смешить, а тот, кто умеет все делать". Быть может, поэтому он столь популярен среди детей и взрослых.
В 1990 г. Юрий Куклачев открыл первый в мире, частный Театр кошек ("Кэт Хауз"). Разместился он в помещении бывшего кинотеатра "Призыв" на Кутузовском проспекте. Юрий Куклачев и его друзья-единомышленники - художники, дизайнеры, фотографы - превратили его в уютный и неповторимый мир "Кошкина Дома". Здесь удобно и весело живется и режиссерам, и артистам, и балетмейстерам, и ассистентам, и, конечно, замечательным кошкам и собакам, а их в труппе театра уже более 100. В фойе театра постоянно действует выставка кошек, созданных руками художников - живопись, графика, керамика, дерево, металл... Во время гастролей в Париже театр был удостоен Золотого кубка и звания "Самый оригинальный театр в мире". В 1991-1993 гг. при театре на общественных началах существовала школа клоунов.
За годы существования театра у Юрия Куклачева образовался тесный творческий союз с известным кинорежиссером, по совместительству главным режиссером театра, Г.Э.Юнгвальд-Хинкевичем. Ими совместно подготовлены 5 программ: "Похитители кошек", "Принц Щелкунчик и Крысиный король", "Кошки-клоуны и любовь", "Кот в сапогах против Карабаса-Барабаса", "Кошки из Вселенной". На каждое представление приходят дети из детских домов, существуют специальные льготные билеты для инвалидов и ветеранов. Театр регулярно проводит благотворительные спектакли в детских и инвалидных домах, санаториях для ослабленных детей, в детских больницах.
Юрий Куклачев принимал участие в съемках более 50 детских передач, он - постоянный и желанный гость программы "Спокойной ночи, малыши", его часто приглашают на самые популярные телевизионные шоу. Он снимался в фильмах: "Кот и клоун", "С улыбкой доброй!", "Выше радуги". В советско-финляндском фильме "Письмо из Тампере" Куклачев сыграл главную роль, а в советско-французской кинокартине ему довелось сыграть вместе с выдающимся французским актером Марселем Марсо (по техническим причинам фильм на широкий экран не вышел).
В 1977 г. Ю.Д.Куклачев был удостоен почетного звания "Заслуженный артист РСФСР", а в 1979 г. за постановку спектакля "Цирк в моем багаже" и исполнение в ней главной роли - звания "Народный артист РСФСР". Юрий Куклачев - кавалер Ордена Дружбы (1995 г.), лауреат премии Ленинского комсомола (1976 г.).
Самобытный талант отмечен самыми разными зарубежными призами и наградами: "Золотая корона" в Канаде (1976 г.) за выдающиеся достижения в дрессуре, за гуманное отношение к животным и пропаганду этого гуманизма, "Золотой Оскар" в Японии (1981 г.), приз "Серебряный клоун" в Монте-Карло, Кубок журналистов мира (1987 г.), звание почетного члена Ассоциации клоунов Америки. Юрий Куклачев пользуется необыкновенной популярностью во Франции. Там ему посвящена целая глава в учебнике по родному языку для французских школьников - "Уроки доброты". А почта Сан-Марино в знак признания уникального таланта артиста выпустила почтовую марку, посвященную Ю.Куклачеву, который стал вторым клоуном на планете (после Олега Попова), удостоенным такой чести.
Творчеству Юрия Куклачева посвящены сотни публикаций в отечественной и мировой прессе. Сам артист является автором нескольких книг, среди которых "Мои любимые кошки" (издана в Париже), "Кошкин дом", "Юрий Куклачев и его 120 кошек", а также пособия для студентов Циркового училища "Если хочешь быть клоуном".
В свободное время увлекается рисованием и резьбой по дереву.
Живет и работает в г.Москве.